Question

9．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且A=60°，b=1，c=3．
（1）求a的值；
（2）求$\frac{1}{tanB}$+$\frac{1}{tanC}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理求a的值；
（2）由正弦定理可得sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，再求$\frac{1}{tanB}$+$\frac{1}{tanC}$的值．

解答 解：（1）∵A=60°，b=1，c=3，
∴a=$\sqrt{1+9-2×1×3×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$；
（2）由正弦定理可得$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{sinB}=\frac{3}{sinC}$，∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$，sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$
$\frac{1}{tanB}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosB}{sinB}$+$\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{sin（B+C）}{sinBsinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}}•\frac{2\sqrt{7}}{3\sqrt{3}}$=$\frac{14\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評 本題考查余弦定理、正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．