Question

14．在正四面體S-ABC中，E為SA的中點(diǎn)，F(xiàn)為△ABC的中心，則直線EF與面ABC所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 做出輔助線，連接AF并延長交BC于H，取線段AF的中點(diǎn)G，連接EG，證出線面角，把線面角放到一個直角三角形中，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到結(jié)果，

解答 解：連接SF，則SF⊥平面ABC．連接AF并延長交BC于H，取線段AF的中點(diǎn)G，連接EG，
由E為SA的中點(diǎn)，則EG∥SF，
∴EG⊥平面ABC，
∴∠EFG即為EF與平面ABC所成的角． 
設(shè)正四面體的邊長為a，則AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，且AF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
在Rt△AGE中，AE=$\frac{1}{2}$a，AG=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，∠EGA=90°，
∴EG=AE²-AG²=$\frac{\sqrt{6}}{6}$a．
在Rt△EGF中，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，EG=$\frac{\sqrt{6}}{6}$a，EF=$\frac{a}{2}$，∠EGF=90°，
∴cos∠EFG=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
即EF與平面ABC所成的角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面所成的角，本題解題的關(guān)鍵是先做出線面角，再證出線面角，最后把角放到一個三角形中解出結(jié)果．