Question

17．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)F（2，0），且F到雙曲線的一條漸近線的距離為1．
（I）求雙曲線C的方程；
（II）若直線l：y=kx+2與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn) A，B，且$\overrightarrow{{O}{A}}•\overrightarrow{{O}{B}}＞2$（ O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)F（2，0），且F到雙曲線的一條漸近線的距離為1，求出c，b，a，即可求雙曲線C的方程；
（II）由直線l：y=kx+2與雙曲線C，聯(lián)立，可得（1-3k²）x²-12kx-15=0．由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得k²≠$\frac{1}{3}$，且k²＜$\frac{5}{3}$，再由韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行求解．

解答 解：（Ⅰ）∵中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)F（2，0），且F到雙曲線的一條漸近線的距離為1，
∴c=2，b=1，
∴a=$\sqrt{3}$
∴雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}$=1    
（Ⅱ）直線l：y=kx+2與雙曲線C，聯(lián)立，可得（1-3k²）x²-12kx-15=0，
由直線l與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)得1-3k²≠0，△＞0，
 即k²≠$\frac{1}{3}$，且k²＜$\frac{5}{3}$①
x₁+x₂=$\frac{12k}{1-3{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{15}{1-3{k}^{2}}$
由$\overrightarrow{{O}{A}}•\overrightarrow{{O}{B}}＞2$，得x₁x₂+y₁y₂＞2，
而x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=$\frac{3{k}^{2}+11}{3{k}^{2}-1}$
于是$\frac{3{k}^{2}+11}{3{k}^{2}-1}$＞2，
∴$\frac{1}{3}$＜k²＜$\frac{13}{3}$，②
由①②得$\frac{1}{3}$＜k²＜$\frac{5}{3}$，
∴k的取值范圍為（-$\frac{\sqrt{15}}{3}，-\frac{\sqrt{3}}{3}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{15}}{3}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．