Question

18．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}={1^{\;}}（{a＞b＞0}）$右支上非頂點(diǎn)的一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若AF⊥FB，設(shè)∠ABF=θ且$θ∈（{\frac{π}{12}，\frac{π}{4}}）$，則雙曲線離心率的取值范圍是（　�。�

• A． $（{\sqrt{2}，2}]$
• B． $（{1，\sqrt{2}}]$
• C． $（{\sqrt{2}，+∞}）$
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 作出對(duì)應(yīng)的圖象，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′．則四邊形AFBF′為矩形．因此|AB=|FF′|=2c．|AF|=2csinθ，|BF|=2ccosθ．可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{cosθ-sinθ}$=$\frac{1}{\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）}$，求出即可．

解答 解：如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F′，連接AF′，BF′．
∵AF⊥FB，∴四邊形AFBF′為矩形．
因此|AB=|FF′|=2c．
則|AF|=2csinθ，|BF|=2ccosθ．
∵|AF′|-|AF|=2a．
∴2ccosθ-2csinθ=2a．
即c（cosθ-sinθ）=a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{cosθ-sinθ}$=$\frac{1}{\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）}$，
∵$θ∈（{\frac{π}{12}，\frac{π}{4}}）$，
∴$θ+\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），
則cos（$θ+\frac{π}{4}$）∈（0，$\frac{1}{2}$），
$\sqrt{2}$cos（$θ+\frac{π}{4}$）∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
則$\frac{1}{\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）}$$＞\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$，
即e＞$\sqrt{2}$，
故雙曲線離心率的取值范圍是$（{\sqrt{2}，+∞}）$，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)、兩角差的余弦公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，注意利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解．