Question

對于定義域為D的函數(shù)y=f（x），若同時滿足：①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]．那么把函數(shù)y=f（x）（x∈D）叫做“同族函數(shù)”．
（1）求“同族函數(shù)”y=x²（x≥0）符合條件②的區(qū)間[a，b]．
（2）判斷函數(shù)y=

3x

x+1

（x＞-1）是否為“同族函數(shù)”．

Answer 1

考點：進行簡單的合情推理

專題：函數(shù)的性質及應用,推理和證明

分析：（1）由題意，函數(shù)f（x）=x²在[a，b]上單調(diào)遞增，則

a=a2 b=b2 b＞a≥0.

，解得答案；
（2）因為函數(shù)y=

3x

x+1

在（-1，+∞）上單調(diào)遞增．令

3x

x+1

=x，解得x=0或x=2．即存在區(qū)間[0，2]?（-1，+∞），使得函數(shù)y=

3x

x+1

在[0，2]上的值域為[0，2]，進而根據(jù)“同族函數(shù)”的定義，得到答案．

解答： 解：（1）由題意，函數(shù)f（x）=x²在[a，b]上單調(diào)遞增，
則

a=a2 b=b2 b＞a≥0.

，
解得

a=0 b=1.

即所求的區(qū)間為[0，1]．
（2）因為y=

3x

x+1

=-

3

x+1

+3，
所以易知函數(shù)y=

3x

x+1

在（-1，+∞）上單調(diào)遞增．
令

3x

x+1

=x，解得x=0或x=2．
所以存在區(qū)間[0，2]?（-1，+∞），
使得函數(shù)y=

3x

x+1

在[0，2]上的值域為[0，2]，
所以函數(shù)y=

3x

x+1

是“同族函數(shù)”．

點評：考查函數(shù)的單調(diào)性及新定義型函數(shù)的理解，以及問題的等價轉化能力．