Question

9．已知函數f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，g（x）=ax+b．
（1）若函數h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）若直線g（x）=ax+b是函數f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$圖象的切線，求a+b的最小值．

Answer 1

分析 （1）把f（x），g（x）的解析式代入h（x）=f（x）-g（x），求其導函數，由導函數大于等于0恒成立得到$a≤\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$對任意的x＞0恒成立，然后利用配方法求得最值得答案；
（2）設出函數f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$圖象上點的坐標（x₀，y₀），由直線g（x）=ax+b是函數f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$圖象的切線，得到$a=\frac{1}{{x}_{0}}+\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}，b=-1-\frac{2}{{x}_{0}}+ln{x}_{0}$，則a+b=$ln{x}_{0}-\frac{1}{{x}_{0}}+\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}-1$，令$\frac{1}{{x}_{0}}$=t＞0換元，再利用導數求得a+b的最小值為-1．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，g（x）=ax+b，
∴h（x）=f（x）-g（x）=lnx-$\frac{1}{x}$-ax-b，
由函數h（x）在（0，+∞）上單調遞增，可得${h}^{′}（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}-a≥0$對任意的x＞0恒成立，
即$a≤\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$對任意的x＞0恒成立，
令$\frac{1}{x}=t∈$（0，+∞），則${t}^{2}+t=（t+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$，∴t²+t即$\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}$＞0．
∴a≤0．
即實數a的取值范圍是（-∞，0]；
（2）由f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，得${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{2}}$，
設切點為$（{x}_{0}，ln{x}_{0}-\frac{1}{{x}_{0}}）$，則${f}^{′}（{x}_{0}）=\frac{1}{{x}_{0}}+\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$，
∴函數f（x）的過切點的切線方程為$y-ln{x}_{0}+\frac{1}{{x}_{0}}=（\frac{1}{{x}_{0}}+\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}）（x-{x}_{0}）$，
整理得：$y=（\frac{1}{{x}_{0}}+\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}）x-1-\frac{2}{{x}_{0}}+ln{x}_{0}$，
∵直線g（x）=ax+b是函數f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$圖象的切線，
∴$a=\frac{1}{{x}_{0}}+\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}，b=-1-\frac{2}{{x}_{0}}+ln{x}_{0}$，
則a+b=$ln{x}_{0}-\frac{1}{{x}_{0}}+\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}-1$，
令$\frac{1}{{x}_{0}}$=t＞0，則a+b=-lnt-t+t²-1，
令a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，
則φ′（t）=-$\frac{1}{t}$+2t-1=$\frac{（2t+1）（t-1）}{t}$，
當t∈（0，1）時，φ'（t）＜0，φ（t）在（0，1）上單調遞減；
當t∈（1，+∞）時，φ'（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上單調遞增．
即有t=1時，φ（t）取得極小值，也為最小值．
則a+b=φ（t）≥φ（1）=-1，
故a+b的最小值為-1．

點評 本題考查導數的運用，求切線的方程和求極值、最值，主要考查構造函數，通過導數判斷單調區(qū)間求得極值，屬于中高檔題．