Question

1．已知在等腰Rt△ABC中，BC=$\sqrt{2}$，∠C=90°．
（1）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2；
（2）若點M是△ABC外接圓上的動點，O為圓心，求$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形中的性質(zhì)得出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|×cos45°，計算即可．
（2）設(shè)∠MOB=α，∠COB=90°+α，0≤α≤360°利用向量的運(yùn)算得出$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OM}$•（$\overrightarrow{OC}$$-\overrightarrow{OB}$）=1×1×cos（90°+α）-1×1×cosα=-sinα-cosα=$-\sqrt{2}$sin（α+45°），再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)即可求解范圍．

解答 解：（1）∵等腰Rt△ABC中，BC=$\sqrt{2}$，∠C=90°，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|×|$\overrightarrow{AC}$|×cos45°=$\sqrt{2}×2×\frac{\sqrt{2}}{2}$=|=2，
故答案為：2
（2）∵等腰Rt△ABC中，BC=$\sqrt{2}$，∠C=90°，點M是△ABC外接圓上的動點，O為圓心，
∴OB=OC=OM=1，∠COB=90°

設(shè)∠MOB=α，∠COB=90°+α，0≤α≤360°，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OM}$•（$\overrightarrow{OC}$$-\overrightarrow{OB}$）=1×1×cos（90°+α）-1×1×cosα=-sinα-cosα=$-\sqrt{2}$sin（α+45°），
∵45°≤α+45°≤405°，
∴最大值為$\sqrt{2}$，最小值為$-\sqrt{2}$．
故$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范圍：[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．

點評 本題綜合考查了平面向量的運(yùn)算，與三角函數(shù)性質(zhì)求解，綜合性較強(qiáng)，計算準(zhǔn)確些，難度不大，結(jié)合圖形得出向量的關(guān)系，再運(yùn)算即可．