Question

【題目】如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是半橢圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，且直線PA、PB分別交y軸于點(diǎn)M、N．

（1）證明：；

（2）求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由直線PA與橢圓相切，得，要證明，只需證明，即證即可；

（2），，，由（1）易得，代入化簡(jiǎn)即可.

（1）由題意知，直線PA的斜率存在且不為0，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

直線PA方程為．

令，可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為．

由，消去x得．

因?yàn)橹本�與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，

故，即．

因?yàn)辄c(diǎn)F的坐標(biāo)為，

故，．

則．

因此，亦即．

（2）設(shè)直線PB的方程為．

由（1）可知，n滿足方程．

故m，n是關(guān)于t的方程的兩個(gè)不同的實(shí)根．

所以．

由（1）可知：，同理可得．

故，．

則，

因?yàn)?/span>，

所以．

因此，的取值范圍是．

【點(diǎn)晴】

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，計(jì)算量較大，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.