Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^x-kx．
（1）若k＞0，且對于任意x∈[0，+∞），f（x）＞0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+f（-x），
     求證：lnF（1）+lnF（2）+…+lnF（n）＞$\frac{n}{2}ln$（eⁿ⁺¹+2）．（n∈N⁺）．

Answer 1

分析 （1）方法一、求出f（x）的導(dǎo)數(shù)和極值點(diǎn)，討論當(dāng)k∈（0，1]時(shí)，當(dāng)k∈（1，+∞）時(shí)，求出單調(diào)性和極值、最值，結(jié)合恒成立思想，即可判斷k的范圍；
方法二、當(dāng)x=0時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)x＞0時(shí)，運(yùn)用參數(shù)分離，可得k＜$\frac{{e}^{x}}{x}$在x＞0恒成立．求出y=$\frac{{e}^{x}}{x}$的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值，即可得到k的范圍；
（2）求出F（x）的解析式，可得lnF（x₁）+lnF（x₂）=ln[（e^x₁+e^-x₁）（e^x₂+e^-x₂）]，運(yùn)用基本不等式和不等式的性質(zhì)可得（e^x₁+e^-x₁）（e^x₂+e^-x₂）]＞e${\;}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+2，即有l(wèi)nF（1）+lnF（n）＞ln（eⁿ⁺¹+2），lnF（2）+lnF（n-1）＞ln（eⁿ⁺¹+2），…，lnF（n）+lnF（1）＞ln（eⁿ⁺¹+2），再相加，即可得證．

解答 解：（1）方法一、由f（x）=e^x-kx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-k，
由f′（x）=0，可得x=lnk，
①當(dāng)k∈（0，1]時(shí)，f′（x）=e^x-k＞1-k＞0（x＞0）．
此時(shí)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．  
故f（x）＞f（0）=1＞0，符合題意．
②當(dāng)k∈（1，+∞）時(shí)，lnk＞0．
當(dāng)x變化時(shí)f（x），f′（x）的變化情況如下表：

x	（0，lnk）	lnk	（lnk，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≥f（lnk）=k-klnk．
依題意，k-klnk＞0，又k＞1，即1＜k＜e．
綜合①，②得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是0＜k＜e．      
方法二、由 k＞0，且對于任意x∈[0，+∞），f（x）＞0恒成立，
可得e^x-kx＞0對x∈[0，+∞）恒成立．
當(dāng)x=0時(shí)，1＞0顯然成立；
當(dāng)x＞0時(shí)，有k＜$\frac{{e}^{x}}{x}$恒成立．
由y=$\frac{{e}^{x}}{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)y=$\frac{{e}^{x}}{x}$遞增；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，函數(shù)y=$\frac{{e}^{x}}{x}$遞減．
可得x=1處，函數(shù)y=$\frac{{e}^{x}}{x}$取得最小值，且為e．
即有0＜k＜e．
綜上可得k的范圍是（0，e）．
（2）證明：由F（x）=f（x）+f（-x）=e^x+e^-x＞0，
可得lnF（x₁）+lnF（x₂）=ln[（e^x₁+e^-x₁）（e^x₂+e^-x₂）]，
又（e^x₁+e^-x₁）（e^x₂+e^-x₂）]=e${\;}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+e${\;}^{-（{x}_{1}+{x}_{2}）}$+e${\;}^{{x}_{1}-{x}_{2}}$+e${\;}^{{x}_{2}-{x}_{1}}$
＞e${\;}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+e${\;}^{-（{x}_{1}+{x}_{2}）}$+2＞e${\;}^{{x}_{1}+{x}_{2}}$+2，
即有l(wèi)nF（1）+lnF（n）＞ln（eⁿ⁺¹+2），
lnF（2）+lnF（n-1）＞ln（eⁿ⁺¹+2），
…
lnF（n）+lnF（1）＞ln（eⁿ⁺¹+2），
相加可得：2[lnF（1）+lnF（2）+…+lnF（n）]
=[lnF（1）+lnF（n）]+[lnF（2）+lnF（n）]+…+[lnF（n）+lnF（1）]＞nln（eⁿ⁺¹+2），
故lnF（1）+lnF（2）+…+lnF（n）＞$\frac{n}{2}ln$（eⁿ⁺¹+2）．（n∈N⁺）成立．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用基本不等式和不等式的性質(zhì)，運(yùn)用累加法求和，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．