Question

17．如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，直線L平行AC交線段BC于D，交線段AB于E，交圓O于G、F，交圓O在點(diǎn)A的切線于P．若D是BC的中點(diǎn)，PE=6，ED=4，EF=6，則PA的長為2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)DE∥AC利用平行線的性質(zhì)，證出AE=BE且∠BDE=∠C．再由弦切角定理證出∠BDE=∠PAE，從而得出∠BED=∠PEA，可得△BED∽△PEA，最后利用題中數(shù)據(jù)計(jì)算線段的比，即可算出PA的長．

解答 解：∵D是BC的中點(diǎn)，DE∥AC，∴AE=BE，且∠BDE=∠C．
又∵PA切圓O于點(diǎn)A，∴∠PAE=∠C，可得∠BDE=∠PAE．
∵∠BED=∠PEA，
∴△BED∽△PEA，可得$\frac{ED}{AE}=\frac{BE}{PE}$，
∴AE²=BE•AE=PE•ED=24．
由此解出AE=2$\sqrt{6}$．
∵AE²=GE•EF，∴GE=4，
∴PG=2，
∴PA²=PG•PF=24，
∴PA=2$\sqrt{6}$．
故答案為：2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評 本題給出圓滿足的條件，求線段PA的長．著重考查了弦切角定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．