Question

7．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左、右頂點分別為A₁，A₂，點P在C上且直線PA₂的斜率的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1），那么直線PA₁斜率的取值范圍是（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$）
• B． （$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{2}$）
• C． （$\frac{1}{3}$，$\frac{5}{2}$）
• D． （$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{2}$）

Answer 1

分析 由題意求A₁、A₂的坐標，設出點P的坐標，代入求斜率，進而求PA₁斜率的取值范圍．

解答 解：由橢圓的標準方程可知，
左右頂點分別為A₁（-2，0）、A₂（2，0），
設點P（a，b）（a≠±2），則$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{^{2}}{5}$=1…①，
${k}_{P{A}_{1}}$=$\frac{a+2}$，${k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{a-2}$；
則${k}_{P{A}_{1}}•{k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{a+2}$•$\frac{a-2}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}-4}$，
由①式可得$\frac{^{2}}{5}$=$\frac{{a}^{2}-4}{4}$，
代入得${k}_{P{A}_{1}}•{k}_{P{A}_{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∵${k}_{P{A}_{2}}$∈（$\frac{1}{2}$，1），
∴${k}_{P{A}_{1}}$∈（$\frac{5}{4}$，$\frac{5}{2}$）．
故選D．

點評 本題考查了雙曲線的簡單性質應用，同時考查了直線的斜率公式及學生的化簡能力，屬于中檔題．