Question

20．用直線y=m和直線y=x將區(qū)域x²+y²≤2分成若干塊．現(xiàn)在用5種不同的顏色給這若干塊染色，每塊只染一種顏色，且任意兩塊不同色，若共有120種不同的染色方法，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-1，1）．

Answer 1

分析 區(qū)域x²+y²≤2表示以原點(diǎn)O（0，0）為圓心，半徑等于$\sqrt{2}$的一個(gè)圓面，經(jīng)過分類討論可得，只有當(dāng)-1＜m＜1時(shí)，圓面被分成了4部分，按題中要求的涂色方法共有A₅⁴=120種，
滿足條件，從而得出結(jié)論．

解答 解：如圖所示：區(qū)域x²+y²≤2表示以原點(diǎn)O（0，0）為圓心，半徑等于$\sqrt{2}$的一個(gè)圓面（圓周以及圓周內(nèi)部），
直線y=x和圓周的交點(diǎn)為 A（1，1 ）、B（-1，-1）．
直線y=m表示一條和x軸平行的直線，
①當(dāng)1≤|m|＜$\sqrt{2}$時(shí)，圓面被分成了3部分，用5種不同的顏色給這3塊染色，每塊只染一種顏色，且任意兩塊不同色，
則共有A₅³=60種不同的染色方法，不滿足條件．
②當(dāng)|m|≥$\sqrt{3}$時(shí)，圓面被分成了2部分，按題中要求的涂色方法共有A₅²=20種，不滿足條件．
③顯然，當(dāng)-1＜m＜1時(shí)，圓面被分成了4部分，按題中要求的涂色方法共有A₅⁴=120種，滿足條件．
綜上所述m的取值范圍為（-1，1）．
故答案為：（-1，1）

點(diǎn)評 本題主要考查排列、組合以及簡單計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題