Question

3．定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”．如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（1）若橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，判斷C₂與C₁是否相似？如果相似，求出C₂與C₁的相似比；如果不相似，請說明理由；
（2）寫出與橢圓C₁相似且焦點在x軸上、短半軸長為b的橢圓C_b的標(biāo)準(zhǔn)方程；若在橢圓C_b上存在兩點M、N關(guān)于直線y=x+1對稱，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）如圖：直線y=x與兩個“相似橢圓”M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1和
M_λ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=λ²（a＞bo，0＜λ＜1）分別交于點A，B和點C，D，試在橢圓M和橢圓M_λ上分別作出點E和點F（非橢圓頂點），使△CDF和△ABE組成以λ為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法．（不必證明）

Answer 1

分析 （1）由題意橢圓C₂與C₁相似，由橢圓C₂的特征三角形是腰長為4，底邊長為4$\sqrt{3}$的等腰三角形，能求出C₂與C₁的相似比．
（2）橢圓C_b的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（b＞0），設(shè)直線l_MN：y=-x+t，點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中點為（x₀，y₀），由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得5x²-8tx+4（t²-b²）=0，由此利用韋達(dá)定理、根的判別式能求出實數(shù)b的取值范圍．
（3）法1：過原點作直線y=kx（k≠1），交橢圓M和橢圓M₁于點E和點F，得到△CDF和△ABE即為所求相似三角形，且相似比為λ．
法2：過點A、點C分別做x軸（或y軸）的垂線，交橢圓M和橢圓M₁點E和點F，得到△CDF和△ABE即為所求相似三角形，且相似比為λ．

解答 解：（1）橢圓C₂與C₁相似．…（2分）
因為橢圓C₂的特征三角形是腰長為4，底邊長為4$\sqrt{3}$的等腰三角形，
而橢圓C₁的特征三角形是腰長為2，底邊長為2$\sqrt{3}$的等腰三角形，
因此兩個等腰三角形相似，且相似比為2：1．…（5分）
（2）橢圓C_b的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（b＞0），…（6分）
設(shè)直線l_MN：y=-x+t，點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中點為（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，∴5x²-8tx+4（t²-b²）=0，
則${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{4t}{5}$，${y}_{0}=\frac{t}{5}$，…（8分）
∵中點在直線y=x+1上，∴$\frac{t}{5}=\frac{4t}{5}+1$，t=-$\frac{5}{3}$，…（10分）
即直線l_MN的方程為：${l}_{MN}：y=-x-\frac{5}{3}$，
由題意可知，直線l_MN與橢圓C_b有兩個不同的交點，
即方程$5{x}^{2}-8（-\frac{5}{3}）x+4[（-\frac{5}{3}）^{2}-^{2}]=0$有兩個不同的實數(shù)解，
∴△=（$\frac{40}{3}$）²-4×5×4×（$\frac{25}{9}$-b²）＞0，即b＞$\frac{\sqrt{5}}{3}$．…（13分）
（3）作法1：過原點作直線y=kx（k≠1），交橢圓M和橢圓M₁于點E和點F，

則△CDF和△ABE即為所求相似三角形，且相似比為λ．…（18分）
作法2：過點A、點C分別做x軸（或y軸）的垂線，交橢圓M和橢圓M₁點E和點F，

則△CDF和△ABE即為所求相似三角形，且相似比為λ．…（18分）

點評 本題考查兩個橢圓是否相似的判斷與相似比的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查滿足條件的點的作法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．