Question

10．已知函數(shù)f（x）=x²+|x-1|．
（Ⅰ） 求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ） 函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最大值與最小值的差為h（t），求h（t）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）討論去絕對(duì)值號(hào)化簡(jiǎn)可得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^2}-\frac{5}{4}，\;\;x＞1\\{（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}，\;\;x≤1\end{array}\right.$，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）得，${f_{max}}=f（t+2）={t^2}+5t+5$，討論以確定最小值，從而可得$h（t）=\left\{\begin{array}{l}{t^2}+5t+\frac{17}{4}，\;\;0＜t≤\frac{1}{2}\\ 6t+4，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}＜t≤1\\ 4t+6，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t＞1.\end{array}\right.$．

解答 解：（Ⅰ） 由題意得$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{1}{2}）^2}-\frac{5}{4}，\;\;x＞1\\{（x-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{4}，\;\;x≤1\end{array}\right.$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$[{\frac{1}{2}，+∞}）$．
（Ⅱ） 由題意得${f_{max}}=f（t+2）={t^2}+5t+5$，
當(dāng)$0＜t≤\frac{1}{2}$時(shí)，${f_{min}}=f（\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}$，
當(dāng)$\frac{1}{2}＜t≤1$時(shí)，${f_{min}}=f（t）={t^2}-t+1$，
當(dāng)t＞1時(shí)，${f_{min}}=f（t）={t^2}+t-1$，
綜上，$h（t）=\left\{\begin{array}{l}{t^2}+5t+\frac{17}{4}，\;\;0＜t≤\frac{1}{2}\\ 6t+4，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}＜t≤1\\ 4t+6，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;t＞1.\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與最值、分段函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力．