Question

6．若對任意的x≥1，不等式ln（1+$\frac{1}{x}$）≤$\frac{1}{x+a}$（a＞-1）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得a≤$\frac{1}{ln（1+\frac{1}{x}）}$-x，令f（x）=$\frac{1}{ln（1+\frac{1}{x}）}$-x，x≥1，由ln（1+x）＜x，即有l(wèi)n（1+$\frac{1}{x}$）＜$\frac{1}{x}$，即有f（x）＞0，可得a的范圍．

解答 解：不等式ln（1+$\frac{1}{x}$）≤$\frac{1}{x+a}$（a＞-1）成立，
即為a≤$\frac{1}{ln（1+\frac{1}{x}）}$-x，
令f（x）=$\frac{1}{ln（1+\frac{1}{x}）}$-x，x≥1，
由ln（1+x）-x（x＞0）的導數(shù)為$\frac{1}{1+x}$-1=$\frac{-x}{1+x}$＜0，
即有l(wèi)n（1+x）-x＜0，即為ln（1+x）＜x，
即有l(wèi)n（1+$\frac{1}{x}$）＜$\frac{1}{x}$，
即$\frac{1}{ln（1+\frac{1}{x}）}$＞x，即有$\frac{1}{ln（1+\frac{1}{x}）}$-x＞0，
則有-1＜a≤0，
故實數(shù)a的取值范圍是（-1，0]．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和構造函數(shù)求范圍，屬于中檔題．