Question

14．設(shè)S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若數(shù)列{a_n}滿足a_n+S_n=An²+Bn+C，且A＞0，則$\frac{1}{A}$+B-C的最小值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式代入已知等式可得$\fraceqsok72{2}=A$，$\frac1eg77qo{2}+{a}_{1}$=B，a₁-d=C，從而可求$\frac{1}{A}$+B-C=$\frac{2}vpa62de+\frac{3d}{2}$，利用基本不等式即可求得最小值．

解答 解：令a_n=a₁+（n-1）d，
S_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}×n$=na₁+$\frac{n}{2}$（n-1）d，
又a_n+S_n=An²+Bn+C，
∴a₁+（n-1）d+na₁+$\fraci7m4onh{2}$n²-$\fracezzzosz{2}n$=An²+Bn+C，
∴解得：$\fracb77wtat{2}=A$，$\fracyd1nglj{2}+{a}_{1}$=B，a₁-d=C，
∴$\frac{1}{A}$+B-C=$\frac{2}muu6ow7+\frachi27ngj{2}+{a}_{1}-{a}_{1}+d$=$\frac{2}b69mgir+\frac{3d}{2}$，
∵A＞0，∴d＞0，
∴$\frac{2}mrdgrgs+\frac{3d}{2}$≥2$\sqrt{\frac{2}cjawwty×\frac{3d}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴最小值為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的應(yīng)用，考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．