Question

16．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長均相等，點F為棱BC的中點，點E在棱CC₁上，且EF⊥AB₁．
（1）若CC₁=λCE，求λ的值；
（2）求二面角F-AE-C₁所成平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)B₁F，證明AF⊥平面BB₁C₁C得出AF⊥EF，結(jié)合EF⊥AB₁得出EF⊥平面AB₁F，于是EF⊥B₁F，利用△B₁BF∽△FCE得出CE=$\frac{1}{4}$CC₁；
（2）以F為原點建立坐標系，求出平面AEF和平面AEC₁的法向量，則兩法向量的夾角或補交為所求二面角．

解答 解：（1）連接B₁F，
由直棱柱的性質(zhì)知，底面ABC⊥側(cè)面BB₁C₁C，
∵F為BC的中點，
∴AF⊥BC，
∴AF⊥側(cè)面BB₁C₁C，∴AF⊥EF．
又EF⊥AB₁，
∴EF⊥平面AB₁F，∴EF⊥B₁F．
又∠B₁BF=∠FCE=90°，
∴△B₁BF∽△FCE，
∴$\frac{B{B}_{1}}{FC}=\frac{BF}{CE}$=2，
∴CE=$\frac{1}{2}$CF=$\frac{1}{4}$CC₁，
∴λ=4．
（2）設G為B₁C₁的中點，以F為原點，分別以FB，AF，F(xiàn)G所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系F-xyz，
設三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長為1，
則F（0，0，0），A（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），E（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{4}$），C₁（-$\frac{1}{2}$，0，1），
∴$\overrightarrow{FA}$=（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{FE}$=（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{4}$），
設平面AEF的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{FA}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{FE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\\{-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，0，2）．
同理可得平面AEC₁的一個法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}•2}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$，
∵二面角F-AE-C₁為鈍二面角，
∴二面角F-AE-C₁所成平面角的余弦值為-$\frac{\sqrt{15}}{10}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，二面角的計算，空間向量在立體幾何中的應用，屬于中檔題．