Question

16．ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，A、B、C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+3i、-i、2+i．
（Ⅰ）求點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；
（Ⅱ）求△ABC的邊BC上的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出復(fù)平面內(nèi)A、B、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，設(shè)D的坐標(biāo)為（x，y），由$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$列式解得x，y的值，得到D的坐標(biāo)，求出D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；
（Ⅱ）求出BC直線的方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式求出A到BC直線的距離，則BC邊上的高可求．

解答 解：（Ⅰ）復(fù)平面內(nèi)A、B、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，3），（0，-1），（2，1）…（1分），
設(shè)D的坐標(biāo)為（x，y），
由$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$，得（x-1，y-3）=（2，2）…（2分），
∴x-1=2，y-3=2…（3分），
解得x=3，y=5…（4分），
故D（3，5）…（5分），
則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為：3+5i…（6分）；
（Ⅱ）∵B（0，-1），C（2，1），
∴BC直線的方程為：x-y-1=0…（8分），
A到BC直線的距離$d=\frac{|1-3-1|}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$…（11分），
故BC邊上的高為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$…（12分）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬中檔題．