Question

4．設(shè)|$\overrightarrow{c}$|=2，向量$\overrightarrow{a}$=（-1，3），$\overrightarrow$=（3，1），則（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）的最大值為（　　）

• A． 8$\sqrt{5}$
• B． 4$\sqrt{5}$-4
• C． 8
• D． 4+4$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由條件即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（2，4）$，${\overrightarrow{c}}^{2}=4$，這樣便可得出$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）=-4\sqrt{5}cosθ+4$，而θ表示向量（2，4）和向量$\overrightarrow{c}$的夾角，從而便可得出$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）$的最大值．

解答 解：根據(jù)條件，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0，\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（2，4），{\overrightarrow{c}}^{2}=4$；
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）=\overrightarrow{a}•\overrightarrow-（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•\overrightarrow{c}+{\overrightarrow{c}}^{2}$
=$0-（2，4）•\overrightarrow{c}+4$
=$-|（2，4）||\overrightarrow{c}|cosθ+4$
=$-4\sqrt{5}cosθ+4$；
其中，θ表示向量（2，4）和$\overrightarrow{c}$的夾角；
∴cosθ=-1時，$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow-\overrightarrow{c}）$取得最大值$4+4\sqrt{5}$．
故選：D．

點評 考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，向量坐標(biāo)的加法運算，以及向量數(shù)量積的運算及計算公式，清楚向量夾角的概念及范圍，余弦函數(shù)的最值．