Question

19．若$（2+x+{x^2}）{（1-\frac{1}{x}）^3}$的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為a，則$\int_0^a{（3{x^2}-1）dx}$的值為（　�。�

• A． 6
• B． 20
• C． 8
• D． 24

Answer 1

分析 利用二項(xiàng)式定理求得a=2，再求定積分求得要求式子的結(jié)果．

解答 解：根據(jù)$（2+x+{x^2}）{（1-\frac{1}{x}）^3}$=（2+x+x²）•（1-$\frac{3}{x}$+$\frac{3}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{{x}^{3}}$）
=2-$\frac{6}{x}$+$\frac{6}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{x}^{3}}$+x-3+$\frac{3}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+x²-3x+3-$\frac{1}{x}$，
故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為a=2-3+3=2，
則$\int_0^a{（3{x^2}-1）dx}$=${∫}_{0}^{2}$•（3x²-1）dx=（x³-x）${|}_{0}^{2}$=8-2=6，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，定積分，屬于基礎(chǔ)題．