Question

6．在數(shù)列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=$\frac{{1+{a_n}}}{{3-{a_n}}}（{n∈{N^*}}）$．
（Ⅰ）求a₂、a₃、a₄、a₅的值，由此猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意a₁=0，a_n+1=$\frac{{1+{a_n}}}{{3-{a_n}}}（{n∈{N^*}}）$，代入計(jì)算，可求a₂、a₃、a₄、a₅的值，并根據(jù)規(guī)律猜想出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答 解：（I）∵${a_2}=\frac{1}{3}$，${a_3}=\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$，${a_4}=\frac{3}{5}$，${a_5}=\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$，…4 分
猜想：${a_n}=\frac{n-1}{n+1}$（n∈N^*）．…（6分）
（II）證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，${a_1}=\frac{1-1}{1+1}=0$，猜想成立．…（7分）
（2）假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)猜想成立，即${a_k}=\frac{k-1}{k+1}$．
那么n=k+1時(shí)，${a_{k+1}}=\frac{{1+{a_k}}}{{3-{a_k}}}=\frac{{1+\frac{k-1}{k+1}}}{{3-\frac{k-1}{k+1}}}=\frac{2k}{2k+4}=\frac{k}{k+2}=\frac{（k+1）-1}{（k+1）+1}$，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)猜想仍成立．…（11分）
根據(jù)（1）（2），可以斷定猜想對(duì)任意的n∈N^*都成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查歸納推理，數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)列的通項(xiàng)等相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力、推理論證能力和化歸思想