Question

P是橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上任一點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左右焦點
（1）求橢圓的頂點坐標(biāo)，長軸長、短軸長及離心率；
（2）若∠F₁PF₂=60°，求|PF₁|•|PF₂|的值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出橢圓的a，b，c，運(yùn)用離心率公式，即可得到橢圓的頂點坐標(biāo)，長軸長、短軸長及離心率；
（2）運(yùn)用余弦定理和橢圓的定義，結(jié)合配方，即可得到所求值．

解答： 解：（1）橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的a=5，b=4，則c=

a2-b2

=3，
則橢圓的頂點坐標(biāo)為（5，0），（-5，0），（0，4），（0，-4），
長軸長10，短軸長8，及離心率e=

c

a

=

3

5

；
（2）由于|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
在△PF₁F₂中，cos60°=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|•|PF2|-4c2

2|PF1|•|PF2|

=

4a2-4c2

2|PF1|•|PF2|

-1=

1

2

，
即有|PF₁|•|PF₂|=

64

3

．

點評：本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，考查余弦定理及運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．