Question

如果不等式x|x-a|+b＜0（b為常數(shù)）對x∈[0，1]恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：需要分類討論，當(dāng)b＜0，當(dāng)x=0時，a取任意實數(shù)不等式恒成立． 當(dāng)-1≤b＜0時，或當(dāng)b＜-1時，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答： 解：顯然b＜0，當(dāng)x=0時，a取任意實數(shù)不等式恒成立．                    
∵x∈[0，1]時，原不等式可變?yōu)閨x-a|＜-

b

x

，即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

故（x+

b

x

）_max＜a＜（x-

b

x

）_min，x∈[0，1]時                           
∵b＜0，f（x）=x+

b

x

在（0，1]上為增函數(shù)，所以（x+

b

x

）_max=f（1）=1+b，
當(dāng)-1≤b＜0時，在（0，1]上，x-

b

x

=x+

-b

x

≥2

-b

，當(dāng)x=

-b

時，（x-

b

x

）_min=2

-b

，
此時，要使a存在，必須有

1+b＜2 -b -1≤b＜0

，即-1≤b＜3+2

2

，
當(dāng)b＜-1時，在（0，1]上，f（x）=x-

b

x

為減函數(shù)； 當(dāng)x=1時，其值最小，所以（x-

b

x

）_min=1-b，
綜上所述，當(dāng)-1≤b＜3+2

2

時，a的取值范圍是（1+b，2

-b

）；
當(dāng)b＜-1時，a的取值范圍是（1+b，1-b）；

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．