設(shè)函數(shù)f(x)=|x|(x-a)2(x∈R),其中a∈R.
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)|a|≥2,x∈(0,2]時(shí),函數(shù)f(x)的最大值為8時(shí),求a;
(Ⅲ)當(dāng)a>0,k<0時(shí),f(k-ex)≤f(-k2-e2x)對(duì)任意的x≥0恒成立,求k的取值范圍.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)|a|≥2,x∈(0,2]時(shí),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)函數(shù)f(x)的最大值為8時(shí),建立條件關(guān)系即可求a;
(Ⅲ)將不等式恒成立進(jìn)行轉(zhuǎn)化,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
解答: 解:由題意得,f(x)=
x3-2ax2+a2x  (x≥0)
-x3+2ax2-a2x  (x<0)

f′(x)=
3x2-4ax+a2  (x≥0)
-3x2+4ax-a2  (x<0)

(I)當(dāng)a=1,x=2時(shí),f'(2)=5,f(2)=2,
∴曲線y=f(x)在點(diǎn)A(2,f(2))處的切線方程為5x-y-8=0,
(II)∵x∈(0,2],
∴f'(x)=3x2-4ax+a2,
(i) 當(dāng)a<-2,x∈(0,2],f'(x)>0,
∴f(x)在(0,2]上單調(diào)遞增,
∴f(x)max=f(2)=8,∴a=4或0(舍去).
(ii) 當(dāng)2≤a<6,x∈(0,
a
3
]
,f'(x)>0;
x∈(
a
3
,2]
,f'(x)<0,
f(x)max=f(
a
3
)=8
,∴a=3
32
,
(iii) 當(dāng)a≥6,x∈(0,2],f'(x)>0,
∴f(x)在(0,2]上單調(diào)遞增,
∴f(x)max=f(2)=8,
∴a=4或0(舍去),
∴由(i) (ii) (iii)可得 x∈[0,2],a=3
32
,函數(shù)f(x)的最大值為8.
(III)由題意得,k-ex0 ,  -k2-e2x<0,
又∵a>0,得 
a
3
>0

∴f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,
又∵f(k-ex)≤f(-k2-e2x)對(duì)任意的x≥0恒成立,
∴k-ex≥-k2-e2x,即k+k2≥ex-e2x,
設(shè)g(x)=ex-e2x,當(dāng)x≥0時(shí),g(x)max=0,
∴k2+k≥0,解得,k≤-1或k≥0(舍去),
∴當(dāng)a>3,k≤-1時(shí),f(k-ex)≤f(-k2-e2x)對(duì)任意的x≥0恒成立.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,考查學(xué)生的運(yùn)算能力.
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若函數(shù)f(x)=-λx2+2(2-λ)x在區(qū)間[-2,1]上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(  )
A、(-∞,-2]
B、[-2,1]
C、[1,+∞)
D、(-2,1)

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化簡(jiǎn):-2+3n-(2n-1)3n

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點(diǎn)A是曲線C1
x2
9
+
y2
4
=1與C2
x2
4
-y2=1的一個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)A到曲線C1兩焦點(diǎn)距離的和為m,點(diǎn)A到曲線C2兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為n,則lg
1
m+n
的值為( 。
A、0B、-1C、1D、10

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對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),若滿足(x-1)f′(x)≥0,則必有( 。
A、f(0)+f(2)<2f(1)
B、f(0)+f(2)≤2f (1)
C、f(0)+f(2)≥2f(1)
D、f(0)+f(2)>2f (1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若直線l:x-y+c=0繞其與x軸的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后恰與曲線M:
x=-3+
2
cosθ
y=4+
2
sinθ
為參數(shù))相切,則c的值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=
1
(n+1)2
,(n∈N),記bn=(1-a1)(1-a2)…(1-an).
(1)求出數(shù)列{bn}通項(xiàng)公式;
(2)令Pn=bn-bn+1,求
lim
n→∞
(p1+p2+…+pn)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)極限
lim
x→x0
ln
x
-ln
x0
x-x0
的值為( 。
A、
2
x0
B、
1
2x0
C、
x0
2
D、
1
2
x0

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