Question

13．已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項a₁為a（a∈R），設(shè)數(shù)列的前n項和為S_n，且$\frac{1}{{a}_{1}}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式及S_n（2）記A_n=$\frac{1}{{S}_{1}}$$+\frac{1}{{S}_{2}}$$+\frac{1}{{S}_{3}}$$+…+\frac{1}{{S}_{n}}$，B${\;}_{n}=\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{2}{{a}_{2}}$$\frac{3}{{a}_{{2}^{2}}}$+…$+\frac{n}{{a}_{{2}^{n-1}}}$，當(dāng)n≥2時，計算A_n與B_n，并比較A_n與B_n的大�。ū容^大小只需寫出結(jié)果，不用證明）．

Answer 1

分析 （1）通過$\frac{1}{{a}_{1}}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$成等差數(shù)列可得d²=da₁，進而可得結(jié)論；
（2）通過a_n=an可得$\frac{1}{{a}_{{2}^{n-1}}}$=$\frac{1}{a}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，通過錯位相減法可知B_n=$\frac{2}{a}$•（2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$），通過S_n=$\frac{an（n+1）}{2}$可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{a}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并項相加即可，進而可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵$\frac{1}{{a}_{1}}$，$\frac{1}{{a}_{2}}$，$\frac{1}{{a}_{4}}$成等差數(shù)列，
∴$（\frac{1}{{a}_{2}}）^{2}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$•$\frac{1}{{a}_{4}}$，
∴（a₁+d）²=a₁（a₁+3d），
即d²=da₁，
又∵d≠0，∴d=a₁=a，
∴a_n=a+a（n-1）=an，
∴S_n=$\frac{n•（a+an）}{2}$=$\frac{an（n+1）}{2}$；
（2）∵a_n=an，
∴${a}_{{2}^{n-1}}$=a•2^n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{{2}^{n-1}}}$=$\frac{1}{a}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴B${\;}_{n}=\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{2}{{a}_{2}}$$\frac{3}{{a}_{{2}^{2}}}$+…$+\frac{n}{{a}_{{2}^{n-1}}}$
=$\frac{1}{a}$•（1+2•$\frac{1}{{2}^{1}}$+3•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$），
∴$\frac{1}{2}$B_n=$\frac{1}{a}$•（$\frac{1}{{2}^{1}}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$），
兩式相減得：$\frac{1}{2}$B_n=$\frac{1}{a}$•（1+$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\frac{1}{a}$•（$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=$\frac{1}{a}$•（2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$），
∴B_n=$\frac{2}{a}$•（2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$）．
∵S_n=$\frac{an（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{a}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴A_n=$\frac{1}{{S}_{1}}$$+\frac{1}{{S}_{2}}$$+\frac{1}{{S}_{3}}$$+…+\frac{1}{{S}_{n}}$
=$\frac{2}{a}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2}{a}$（1-$\frac{1}{n+1}$）．
∵當(dāng)n≥2時，1-$\frac{1}{n+1}$＜2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$，
∴當(dāng)a＞0時，A_n＜B_n；當(dāng)a＜0時，A_n＞B_n．

點評 本題是一道關(guān)于數(shù)列與不等式的綜合題，考查運算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．