Question

如圖，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分別是CC₁，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段A₁B₁上，且

A1P

=λ

A1B1

（1）證明：無(wú)論λ取何值，總有AM⊥PN；
（2）當(dāng)λ=

1

2

時(shí)，求直線PN與平面ABC所成角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AC，AA₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明無(wú)論λ取何值，總有AM⊥PN．
（2）求出

PN

和平面ABC的法向量，利用向量法能求出直線PN與平面ABC所成角的正切值．

解答： （1）證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AC，AA₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知：A₁（0，0，1），B₁（1，0，1），M（0，1，

1

2

），N（

1

2

，

1

2

，0），
∴

A1P

=λ

A1B1

=（λ，0，0），

AP

=（λ，0，1），

PN

=（

1

2

-λ，

1

2

，-1），
∵

AM

=（0，1，

1

2

），∴

AM

•

PN

=0，
∴無(wú)論λ取何值，總有AM⊥PN．…（6分）
（2）解：λ=

1

2

時(shí)，

PN

=（0，

1

2

，-1），
由題意知平面ABC的法向量

n

=（0，0，1）…（8分）
設(shè)α為PN與面ABC所成角，
則sinα=|cos＜

PN

，

n

＞|=

2 5

5

，…（12分）
∴tanα=2，
∴直線PN與平面ABC所成角的正切值為2．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，其中熟練掌握向量夾角公式是解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵．