Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項為2，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）令b_n=

1

(an+1)2-1

，（n∈N₊），求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質(zhì)列出方程求得公差d，即可得出結(jié)論；
（2）b_n=

1

(an+1)2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），利用裂項相消法求和即可．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列得
(a2)2=a₁•a₄，
又a₁=2，∴(a1+d)2=a₁（a₁+3d），
∵d≠0，∴d=2，
∴a_n=2n．
（2）∵b_n=

1

(an+1)2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
∴s_n=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

．

點評：本題主要考查等差數(shù)列及等比數(shù)列的性質(zhì)和裂項相消法求和等知識，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．