Question

2．如圖，在直三棱柱 ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D、E分別是棱BC、CC₁上的點(diǎn)（點(diǎn)D不在BC的端點(diǎn)處），且AD⊥DE，F(xiàn)為B₁C₁的中點(diǎn)．
（1）求證：AD⊥平面B₁BCC₁；
（2）求證：A₁F∥平面ADE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先證明AD⊥CC₁，然后AD⊥DE，即可得到AD⊥平面B₁BCC₁．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）得AD⊥平面B₁BCC₁，連接DF，得DF∥AA₁，且DF=AA₁，即可得到相應(yīng)的結(jié)論．

解答 證明：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴AD⊥CC₁，
∵AD⊥DE，且DE∩CC₁=D，
∴AD⊥平面B₁BCC₁，
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）得AD⊥平面B₁BCC₁，
∵BC?平面B₁BCC₁，
∴AD⊥BC，
在△ABC中，AB=AC，
∴D為BC的中點(diǎn)，
連接DF，得DF∥AA₁，且DF=AA₁，即四邊形AA₁FD為平行四邊形，
∴A₁F∥AD，
∵AD?平面ADE，A₁F?平面ADE，
∴A₁F∥平面ADE．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了空間中直線與平面平行、垂直，直線與直線平行的判定等知識(shí)，屬于中檔題，難度中等，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷平行和垂直的判定和性質(zhì)．