Question

7．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+2+a_ncosnπ=1，記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，則$\frac{{S}_{120}}{{a}_{61}}$等于（　�。�

• A． 930
• B． 1520
• C． 60
• D． 61

Answer 1

分析 由a_n+2+a_ncosnπ=1，當(dāng)n=2k-1時(shí)，k∈Z，a_2k+1-a_2k-1=1，可得數(shù)列{a_2k-1}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．當(dāng)n=2k時(shí)，k∈Z，a_2k+2+a_2k=1．可得S₁₂₀．又a₆₁=31，即可得出．

解答 解：由a_n+2+a_ncosnπ=1，當(dāng)n=2k-1時(shí)，k∈Z，a_2k+1-a_2k-1=1，∴數(shù)列{a_2k-1}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
∴a₁+a₃+…+a₁₁₉=$\frac{（1+60）×60}{2}$=1830．
當(dāng)n=2k時(shí)，k∈Z，a_2k+2+a_2k=1．
∴a₂+a₄+…+a₁₂₀=（a₂+a₄）+（a₆+a₈）+…+（a₁₁₈+a₁₂₀）=30．
∴S₁₂₀=1830+30=1860．
又a₆₁=a_2×30+1=1+30=31，
∴$\frac{{S}_{120}}{{a}_{61}}$=$\frac{1860}{31}$=60．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的定義及其前n項(xiàng)和公式、“分組求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．