Question

12．在數(shù)列{a_n}，若a${\;}_{n}^{2}$-a${\;}_{n-1}^{2}$=k（n≥2，n∈N^*，k為常數(shù)），則稱{a_n}為等方差數(shù)列．
（1）若數(shù)列{b_n}是等方差數(shù)列，b₁=1，b₂=3，寫出所有滿足條件的數(shù)列{b_n}的前4項；
（2）若等方差數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=2$\sqrt{2}$，a_n＞0，設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和為T_n，是否存在正整數(shù)p，q，使不等式T_n＞$\sqrt{pn+q}$-1對一切n∈N^*都成立？若存在，求出p，q的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于數(shù)列{b_n}是等方差數(shù)列，b₁=1，b₂=3，可得k=3²-1²=8，$_{3}^{2}$=1+（3-1）×8，同理可得$_{4}^{2}$．即可得出．
（2）由等方差數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=2$\sqrt{2}$，a_n＞0，可得k=${a}_{2}^{2}-{a}_{1}^{2}$=4．利用${a}_{n}^{2}$=${a}_{1}^{2}$+（n-1）k可得a_n=2$\sqrt{n}$．?dāng)?shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和為T_n=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}）$．假設(shè)存在正整數(shù)p，q，使不等式T_n＞$\sqrt{pn+q}$-1對一切n∈N^*都成立，則$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}）$＞$\sqrt{pn+q}$-1．即$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞2（$\sqrt{pn+q}$-1）．當(dāng)n=1時，1＞2$（\sqrt{p+q}-1）$，化為p+q＜$\frac{9}{4}$，又p，q為正整數(shù)，p=q=1．下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞2$（\sqrt{n+1}-1）$即可．

解答 解：（1）∵數(shù)列{b_n}是等方差數(shù)列，b₁=1，b₂=3，
∴k=3²-1²=8，
∴$_{3}^{2}$=1+（3-1）×8=17，$_{4}^{2}$=1+（4-1）×8=25，
∴b₃=$±\sqrt{17}$，b₄=±5．
∴所有滿足條件的數(shù)列{b_n}的前4項：1，3，$\sqrt{17}$，5；1，3，$\sqrt{17}$，-5；1，3，-$\sqrt{17}$，5；1，3，-$\sqrt{17}$，-5．
（2）∵等方差數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=2$\sqrt{2}$，a_n＞0，∴k=${a}_{2}^{2}-{a}_{1}^{2}$=8-4=4．
∴${a}_{n}^{2}$=${a}_{1}^{2}$+（n-1）k=4+4（n-1）=4n，∴a_n=2$\sqrt{n}$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和為T_n=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}）$．
假設(shè)存在正整數(shù)p，q，使不等式T_n＞$\sqrt{pn+q}$-1對一切n∈N^*都成立．
則$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+…+\frac{1}{\sqrt{n}}）$＞$\sqrt{pn+q}$-1．即$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞2（$\sqrt{pn+q}$-1）．
當(dāng)n=1時，1＞2$（\sqrt{p+q}-1）$，化為p+q＜$\frac{9}{4}$，又p，q為正整數(shù)，∴p=q=1．
下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞2$（\sqrt{n+1}-1）$．
①當(dāng)n=1時，2$（\sqrt{2}-1）$=$\frac{2}{\sqrt{2}+1}$＜1，∴不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時，$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$＞2$（\sqrt{k+1}-1）$．
則當(dāng)n=k+1時，$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞2$（\sqrt{k+1}-1）$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞2$（\sqrt{k+1}-1）$+$\frac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k+1}}$＞2$（\sqrt{k+1}-1）$+$\frac{2}{\sqrt{k+2}+\sqrt{k+1}}$＞2$（\sqrt{k+1}-1）$+2$（\sqrt{k+2}-\sqrt{k+1}）$=2$（\sqrt{k+2}-1）$，即$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{k}}$+$\frac{1}{\sqrt{k+1}}$＞2$（\sqrt{k+2}-1）$，
∴當(dāng)n=k+1時，成立．
綜上可得：?n∈N^*，$1+\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$＞2$（\sqrt{n+1}-1）$成立．

點評 本題考查了新定義“等方差數(shù)列”、數(shù)學(xué)歸納法、不等式的性質(zhì)、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．