Question

7．已知向量$\overrightarrow m$=$（{cosx，cos（{x+\frac{π}{6}}）}），\overrightarrow n$=$（{\sqrt{3}$sinx+cosx，2sinx}），且滿足f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，滿足a=2，f（$\frac{A}{2}$）=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間即可；
（Ⅱ）由f（$\frac{A}{2}$）=2，根據(jù)第一問確定出的f（x）解析式，求出A的度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，把a(bǔ)，cosA的值代入并利用基本不等式求出bc的最大值，即可確定出三角形ABC面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=cosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）+2cos（x+$\frac{π}{6}$）sinx=2cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）+2sinxcos（x+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，得到-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）f（$\frac{A}{2}$）=2sin（A+$\frac{π}{6}$）=2，即sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，
∵A為三角形內(nèi)角，
∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即4=b²+c²-2bc×$\frac{1}{2}$=b²+c²-bc≥bc，即bc≤4（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×bc•sin$\frac{π}{3}$≤$\sqrt{3}$，
則△ABC面積為最大值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．