Question

12．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（1，-2），直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-2+\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程是$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$．
（Ⅰ）將圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并寫出圓心的極坐標(biāo)
（Ⅱ）若直線l與圓C交于M、N兩點(diǎn)，求|MP|+|NP|的值．

Answer 1

分析 （I）利用兩角和與差的三角函數(shù)展開極坐標(biāo)方程，然后化為圓C的直角坐標(biāo)方程，求出圓心的直角坐標(biāo)為（1，-1），極坐標(biāo)為$（\sqrt{2}，\frac{7π}{4}）$．
（II）化簡直線l的參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，代入圓的方程，利用參數(shù)方程的幾何意義，求解即可．

解答 解：（I）∵$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，
∴ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，∴x²+y²=2x-2y，
∴圓C的直角坐標(biāo)方程為：（x-1）²+（y+1）²=2，
圓心的直角坐標(biāo)為（1，-1），極坐標(biāo)為$（\sqrt{2}，\frac{7π}{4}）$；…（5分）
（II）直線l的參數(shù)方程可寫為：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入圓C的直角坐標(biāo)方程中得：${t^2}-\sqrt{3}t-1=0$，
設(shè)M、N兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，則$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=\sqrt{3}\\{t_1}{t_2}=-1\end{array}\right.$，
∴$|MP|+|NP|=|{t_1}|+|{t_2}|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{7}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程與普通方程的互化，參數(shù)方程的幾何意義，考查計(jì)算能力．