Question

1．已知函數(shù)$f（x）=2cosx（\sqrt{3}sinx+cosx）+2$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函數(shù)化簡可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3，由周期公式可得，解不等式2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）由x∈$[0，\frac{π}{2}]$結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)逐步計算可得2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3∈[2，5]，可得最值．

解答 解：（Ⅰ）化簡可得$f（x）=2cosx（\sqrt{3}sinx+cosx）+2$
=$\sqrt{3}$•2sinxcosx+2cos²x+2
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1+2
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$可得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$
∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈$[0，\frac{π}{2}]$，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+3∈[2，5]，
∴函數(shù)的最大值和最小值分別為5，2．

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性及最值，屬中檔題．