Question

16．已知函數(shù)f（x）=|2x-4|+1．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞|x+1|；
（Ⅱ）設(shè)正數(shù)a，b滿足ab=a+b，若不等式f（m+1）≤a+4b對(duì)任意a，b∈（0，+∞）都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把要求得不等式去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的3個(gè)不等式組，求得每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）利用基本不等式求得a+4b的最小值為9，可得f（m+1）≤9，由此求得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＞|x+1|?|2x-4|+1＞|x+1|，
?$\left\{\begin{array}{l}x≥2\\ 2x-4+1＞x+1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}-1＜x＜2\\ 4-2x+1＞x+1\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}x≤-1\\ 4-2x+1＞-（x+1）\end{array}\right.$．
求得x＞4，或$-1＜x＜\frac{4}{3}$，或x≤-1，
于是原不等式的解集為$（-∞，\frac{4}{3}）∪（4，+∞）$．
（Ⅱ）因?yàn)?ab=a+b?\frac{1}{a}+\frac{1}=1$，所以$a+4b=（\frac{1}{a}+\frac{1}）（a+4b）≥{（\sqrt{\frac{1}{a}}•\sqrt{a}+\sqrt{\frac{1}}•\sqrt{4b}）^2}=9$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}a=2b\\ ab=a+b\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=\frac{3}{2}\end{array}\right.$時(shí)a+4b取得最小值9．
因?yàn)閒（m+1）≤a+4b對(duì)任意a，b∈（0，+∞）都成立，
所以f（m+1）≤9?|m-1|≤4?-4≤m-1≤4，
于是，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是-3≤m≤5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．