Question

13．已知1≤lg（xy）≤4，-1$≤lg\frac{x}{y}$≤2，則lg$\frac{{x}^{2}}{y}$的取值范圍是[-1，5]．

Answer 1

分析 由1≤lg（xy）≤4，-1$≤lg\frac{x}{y}$≤2，可得：1≤lgx+lgy≤4，-1≤lgx-lgy≤2，而lg$\frac{{x}^{2}}{y}$=2lgx-lgy，設(shè)2lgx-lgy=m（lgx+lgy）+n（lgx-lgy），利用“待定系數(shù)法”即可得出．

解答 解：由1≤lg（xy）≤4，-1$≤lg\frac{x}{y}$≤2，可得：1≤lgx+lgy≤4，-1≤lgx-lgy≤2，
而lg$\frac{{x}^{2}}{y}$=2lgx-lgy
設(shè)2lgx-lgy=m（lgx+lgy）+n（lgx-lgy），
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=2}\\{m-n=-1}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{1}{2}$，n=$\frac{3}{2}$．
∴l(xiāng)g$\frac{{x}^{2}}{y}$=2lgx-lgy=$\frac{1}{2}$（lgx+lgy）+$\frac{3}{2}$（lgx-lgy），
∴-1≤$lg\frac{{x}^{2}}{y}$≤5，
故答案為：[-1，5]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．