Question

10．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c，圖象上的點(diǎn)（1，5）處的切線方程為y=5．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在x=-1時(shí)有極值，求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（1）=0，f（1）=5，f′（-1）=0，求出a，b，c的值即可求出函數(shù)的表達(dá)式；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于b的不等式組，求出b的范圍即可．

解答 解：f'（x）=-3x²+2ax+b
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在x=1處的切線斜率為0，
所以f'（1）=-3+2a+b=0，即2a+b=3…①…（2分）
又f（1）=-1+a+b+c=5，即a+b+c=6…②…（4分）
（Ⅰ）函數(shù)f（x）在x=-1時(shí)有極值，所以f'（-1）=-3-2a+b=0…③
解①②③得a=0，b=3，c=3，所以f（x）=-x³+3x-3．…（6分）
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞增，
所以導(dǎo)函數(shù)f'（x）=-3x²+（3-b）x+b在區(qū)間[2，3]上的函數(shù)值恒大于或等于零，
由$\left\{{\begin{array}{l}{f'（2）=-12+2（3-b）+b≥0}\\{f'（3）=-27+3（3-b）+b≥0}\end{array}}\right.$，⇒b≤-9
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為（-∞，-9]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及求函數(shù)的表達(dá)式問題，是一道中檔題．