Question

14．如果一個(gè)棱柱的底面是正多邊形，并且側(cè)棱與底面垂直，這樣的棱柱叫做正棱柱，已知一個(gè)正六棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為3的球面上，則該正六棱柱的體積的最大值為54．

Answer 1

分析 先表示出正六棱柱的體積，再利用導(dǎo)數(shù)的方法，即可求出正六棱柱的體積的最大值．

解答 解：設(shè)棱柱高為2x（0＜x＜3），則底面積$S=6×\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（\sqrt{9-{x^2}}）^2}$，
則$V=Sh=6×\frac{{\sqrt{3}}}{4}{（\sqrt{9-{x^2}}）^2}•2x=3\sqrt{3}（9-{x^2}）x=-3\sqrt{3}{x^3}+27\sqrt{3}x$
令$V'=-9\sqrt{3}{x^2}+27\sqrt{3}=0解得x=±\sqrt{3}$．
則${V_{max}}=V（\sqrt{3}）=-3\sqrt{3}•3\sqrt{3}+27\sqrt{3}•3\sqrt{3}=54$．
故答案為：54．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正六棱柱的體積的最大值，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，正確表示正六棱柱的體積，再利用導(dǎo)數(shù)的方法求最大值是關(guān)鍵．