Question

18．已知x＞$\frac{1}{2}$，y＞1且xy=e，求t=（2x）^lny的最大值．

Answer 1

分析 x＞$\frac{1}{2}$，y＞1且xy=e，可得2x=$\frac{2e}{y}$．對(duì)t=（2x）^lny兩邊取對(duì)數(shù)可得：lnt=lnyln（2x）=lny•$ln\frac{2e}{y}$=-$（lny-\frac{1+ln2}{2}）^{2}$+$\frac{（1+ln2）^{2}}{4}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵x＞$\frac{1}{2}$，y＞1且xy=e，
∴2x=$\frac{2e}{y}$．
對(duì)t=（2x）^lny兩邊取對(duì)數(shù)可得：lnt=lnyln（2x）=lny•$ln\frac{2e}{y}$=lny（1+ln2-lny）=-ln²y+（1+ln2）lny=-$（lny-\frac{1+ln2}{2}）^{2}$+$\frac{（1+ln2）^{2}}{4}$≤$\frac{（1+ln2）^{2}}{4}$，
∴$t≤{e}^{\frac{（1+ln2）^{2}}{4}}$．當(dāng)且僅當(dāng)y=${e}^{\frac{1+ln2}{2}}$，x=${e}^{\frac{1-ln2}{2}}$時(shí)取等號(hào)．
∴t=（2x）^lny的最大值為${e}^{\frac{（1+ln2）^{2}}{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．