Question

6．某市在2 015年2月份的高三期末考試中對數(shù)學(xué)成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計顯示，全市10000名學(xué)生的成績服從正態(tài)分布N （115，25），現(xiàn)某校隨機抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分析，結(jié)果這50名同學(xué)的成績?nèi)�部介�?0分到140分之間現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組，第一組[80，90），第二組[90，100），…第六組[130，140]，得到如右圖所示的頻率分布直方圖
（1）試估計該校數(shù)學(xué)的平均成績（同一維中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；
（2）這50名學(xué)生中成績在120分（含120分）以上的同學(xué)中任意抽取3人，該3人在全市前13名的人數(shù)記為X，求X的分布列和期望
附：若 $X\～N（u，{σ^2}）$，則 P（u-σ＜X＜u+σ）=0.6826，P（u-2σ＜X＜u+2σ）=0.9544，P（u-3σ＜X＜u+3σ）=0.9974．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)頻率和為1，求出成績在[120，130）的頻率，再計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；
（2）根據(jù)正態(tài)分布的特征，計算50人中成績在130分以上以及[120，140]的學(xué)生數(shù)，得出X的可能取值，計算對應(yīng)的概率，列出X的分布列，計算期望值．

解答 解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，得；
成績在[120，130）的頻率為
1-（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）=1-0.88=0.12；
所以估計該校全體學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?br />85×0.1+95×0.24+105×0.3+115×0.16+125×0.12+135×0.08=8.5+22.8+31.5+18.4+15+10.8=107，
所以該校的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?07；
（2）因為$\frac{13}{10000}$=0.0013，
根據(jù)正態(tài)分布：P（115-3×5＜X＜115+3×5）=0.9974，
所以P（X≥130）=$\frac{1-0.9974}{2}$，
又0.0013×10000=13，
所以前13名的成績?nèi)�部�?30分以上；
根據(jù)頻率分布直方圖得，
這50人中成績在130分以上（包括130分）的有0.08×50=4人，
而在[120，140]的學(xué)生共有0.12×50+0.08×50=10，
所以X的可能取值為0、1、2、3，
所以P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{20}{120}$=$\frac{1}{6}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{60}{120}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}{•C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{36}{120}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{4}{120}$=$\frac{1}{30}$；
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

數(shù)學(xué)期望值為EX=0×$\frac{1}{6}$+1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{3}{10}$+3×$\frac{1}{30}$=1.2．

點評 本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了正態(tài)分布的應(yīng)用問題，考查了離散型隨機變量的分布列與期望的計算問題，是綜合性題目．