Question

8．如圖，已知橢圓C$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，點B坐標(biāo)為（0，-1），過點B的直線與橢圓C的另外一個交點為A，且線段AB的中點E在直線y=x上．
（1）求直線AB的方程；
（2）若點P為橢圓C上異于A，B的任意一點，直線AP，BP分別交直線y=x于點M，N，直線BM交橢圓C于另外一點Q．
①證明：OM•ON為定值；
②證明：A、Q、N三點共線．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點E（t，t），則A（2t，2t+1），通過將點A代入橢圓C，計算即得結(jié)論；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），①分別聯(lián)立直線AP與直線y=x的方程、直線BP與直線y=x的方程，計算即得結(jié)論；②通過聯(lián)立直線MB與橢圓方程，分別計算出k_AN、k_AQ，對比即得結(jié)論．

解答 （1）解：設(shè)點E（t，t），∵B（0，-1），∴A（2t，2t+1），
∵點A在橢圓C上，∴$\frac{（2t）^{2}}{2}+（2t+1）^{2}=1$，
整理得：6t²+4t=0，解得t=-$\frac{2}{3}$或t=0（舍去），
∴E（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{2}{3}$），A（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
∴直線AB的方程為：x+2y+2=0；
（2）證明：設(shè)P（x₀，y₀），則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+{{y}_{0}}^{2}=1$，
①直線AP方程為：y+$\frac{1}{3}$=$\frac{{y}_{0}+\frac{1}{3}}{{x}_{0}+\frac{4}{3}}$（x+$\frac{4}{3}$），
聯(lián)立直線AP與直線y=x的方程，解得：x_M=$\frac{4{y}_{0}-{x}_{0}}{3（{x}_{0}-{y}_{0}+1）}$，
直線BP的方程為：y+1=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$，
聯(lián)立直線BP與直線y=x的方程，解得：x_N=$\frac{-{x}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}-1}$，
∴OM•ON=$\sqrt{2}$|x_M|$•\sqrt{2}$|x_N|
=2•|$\frac{4{y}_{0}-{x}_{0}}{3（{x}_{0}-{y}_{0}+1）}$|•|$\frac{-{x}_{0}}{{x}_{0}-{y}_{0}-1}$|
=$\frac{2}{3}$|$\frac{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}{y}_{0}}{（{x}_{0}-{y}_{0}）^{2}-1}$|
=$\frac{2}{3}$|$\frac{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}{y}_{0}+（1-\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}）-1}$|
=$\frac{2}{3}$|$\frac{{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}{y}_{0}}{\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}{y}_{0}}$|
=$\frac{4}{3}$．
②設(shè)直線MB的方程為：y=kx-1（其中k=$\frac{{y}_{M}+1}{{x}_{M}}$=$\frac{{x}_{M}+1}{{x}_{M}}$），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²-4kx=0，
∴x_Q=$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$，y_Q=$\frac{2{k}^{2}-1}{1+2{k}^{2}}$，
∴k_AN=$\frac{{y}_{N}+\frac{1}{3}}{{x}_{N}+\frac{4}{3}}$=$\frac{3{x}_{N}+1}{3{x}_{N}+4}$=1-$\frac{3}{3{x}_{N}+4}$，k_AQ=$\frac{{y}_{Q}+\frac{1}{3}}{{x}_{Q}+\frac{4}{3}}$=1-$\frac{3}{2（k+1）}$，
要證A、Q、N三點共線，只需證k_AN=k_AQ，即3x_N+4=2k+2，
將k=$\frac{{x}_{M}+1}{{x}_{M}}$代入，即證：x_M•x_N=$\frac{2}{3}$，
由①的證明過程可知：|x_M|•|x_N|=$\frac{2}{3}$，
而x_M與x_N同號，∴x_M•x_N=$\frac{2}{3}$，
即A、Q、N三點共線．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查求直線的方程、線段乘積為定值、三點共線等問題，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．