Question

12．已知A、B為拋物線C：y²=4x上的不同兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，若$\overrightarrow{FA}$=-4$\overrightarrow{FB}$，則直線AB的斜率為多少？

Answer 1

分析 先設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，寫出直線方程后與拋物線方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，求出兩根，再根據(jù)向量的有關(guān)知識(shí)得到坐標(biāo)的關(guān)系，代入拋物線的方程中求得直線AB的斜率．

解答 解：由題意可知直線的斜存在，故可設(shè)為k（k≠0），
∵拋物線 C：y²=4x焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線x=-1，則直線AB的方程為y=k（x-1）
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，可得k²x²-2（2+k²）x+k²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2（2+{k}^{2}）}{{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=$k•（\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}-2）=\frac{4}{k}$，①
$\overrightarrow{FA}=（{x}_{1}-1，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{FB}=（{x}_{2}-1，{y}_{2}）$．
∵$\overrightarrow{FA}$=-4$\overrightarrow{FB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-1=-4（{x}_{2}-1）}\\{{y}_{1}=-4{y}_{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4{x}_{2}+5}\\{{y}_{1}=-4{y}_{2}}\end{array}\right.$，②
聯(lián)立①②可得，${x}_{2}=\frac{3{k}^{2}-4}{3{k}^{2}}，{y}_{2}=-$$\frac{4}{3k}$，代入拋物線方程y²=4x可得
$\frac{16}{9{k}^{2}}=4•\frac{3{k}^{2}-4}{3{k}^{2}}$，即9k²=16，∴k=±$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線定義的應(yīng)用以及向量的有關(guān)知識(shí)，是中檔題．