Question

14．定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：對(duì)?x∈（0，+∞），都有f（2x）=2f（x）；當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2-x，給出如下結(jié)論：①對(duì)?m∈Z，有f（2^m）=0；
②函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞）；      
③存在n∈Z，使得f（2ⁿ+1）=9；
④函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）單調(diào)遞減的充分條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2^k，2^k+1），
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是：①②④．（請(qǐng)將所有正確命題的序號(hào)填上）

Answer 1

分析 ①先令x=2，得到f（2）=0，再根據(jù)f（2x）=2f（x）得出結(jié)論；
②利用單調(diào)性證明定義域上的最小值是0即可；
③利用反證法，判斷滿足條件的n不存在，得出命題錯(cuò)誤；
④根據(jù)題意得出f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減的充分條件是什么．

解答 解：對(duì)于①，令x=2，得f（2）=2-2=0，
當(dāng)m∈Z時(shí)，f（2^m）=2f（2^m-1）=2²f（2^m-2）=…=2^m-1f（2）=0，∴①正確；
對(duì)于②，∵x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2-x，∴?x∈（1，2]，f（x）≥f（2）=0，
又∵?x∈（0，+∞），f（2x）=2f（x），∴?x∈（0，+∞），f（x）≥f（2）=0，∴②正確；
對(duì)于③，∵f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1，假設(shè)存在n使f（2ⁿ+1）=9，即存在x₁，x₂，${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$=10，
又2^x變化如下：2，4，8，16，32，顯然不存在滿足條件的值，∴③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，根據(jù)②知，當(dāng)x⊆（2^k，2^k+1）時(shí)，f（x）=2^k+1-x為減函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞減的充分條件是“存在k∈Z，
使得（a，b）⊆（2^k，2^k+1），④正確．
綜上，正確的命題是①②④．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用問(wèn)題，考查了利用賦值法證明等式的問(wèn)題，此類題的特征是根據(jù)題中所給的相關(guān)性質(zhì)靈活賦值以達(dá)到求值或者證明命題的目的，是綜合性題目．