Question

18．若在△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足acosB=bcosC=ccosA，求證：△ABC為正三角形．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)acosB=bcosC=ccosA，假設(shè)A≥B和B≥C代入式子利用正弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)，即可得到三個(gè)角相等，即可證明△ABC為正三角形．

解答 證明：由題意得，acosB=bcosC=ccosA，
根據(jù)正弦定理得，sinAcosB-sinBcosC=0，且sinBcosC-sinCcosA=0，
則sinAcosB=sinBcosC，且sinBcosC=sinCcosA，
若A≥B，則sinA≥sinB，即cosB≤cosC，得B≥C，則A≥C
同理若B≥C，則sinB≥sinC，即cosC≤cosA，得C≥A，
所以$\left\{\begin{array}{l}{A≥C}\\{C≥A}\end{array}\right.$，得A=C，
當(dāng)A=C時(shí)，代入sinBcosC=sinCcosA，得sinB=sinC，則B=C，
若假設(shè)相反，同樣能得上述結(jié)論，
所以△ABC為正三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理的靈活應(yīng)用，以及余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．