Question

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2，E是PB上任意一點(diǎn)．

(1)求證：AC⊥DE；

(2)已知二面角A?PB?D的余弦值為，若E為PB的中點(diǎn)，求EC與平面PAB所成角的正弦值．

 

 

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

試題分析：

解題思路：（1）利用線面垂直的性質(zhì)推得線線垂直：（2）建立空間坐標(biāo)系，利用二面角A?PB?D的余弦值為，求出PD;進(jìn)而利用空間向量求線面角的正弦值.

規(guī)律總結(jié)：對(duì)于空間幾何體中的垂直、平行關(guān)系的判定，要牢牢記住并靈活進(jìn)行轉(zhuǎn)化，線線關(guān)系是關(guān)鍵；涉及夾角、距離問(wèn)題以及開(kāi)放性問(wèn)題，要注意利用空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解.

試題解析：(1)證明：∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，

∴PD⊥AC，

∵四邊形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，

又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，

∵DE?平面PBD，∴AC⊥DE.

(2)在△PDB中，EO∥PD，∴EO⊥平面ABCD，分別以O(shè)A，OB，OE所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD＝t，則A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，，P(0，－，t)，＝(－1，，0)，＝(－1，－，t)．

由(1)知，平面PBD的一個(gè)法向量為n1＝(1,0,0)，設(shè)平面PAB的法向量為n2＝(x，y，z)，則根據(jù),

得，令y＝1，得平面PAB的一個(gè)法向量為

∵二面角A?PB?D的余弦值為，

則|cos〈n1，n2〉|＝，即

＝，解得t＝2或t＝－2 (舍去)，

∴P(0，－，2)．

設(shè)EC與平面PAB所成的角為θ，

∵＝(－1,0，－)，n2＝(，1,1)，

則sin θ＝|cos〈，n2〉|＝，

∴EC與平面PAB所成角的正弦值為.

考點(diǎn)：1.線線垂直的判定；2.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.