Question

4．已知函數(shù)f（x）=log₂（x+1），g（x）=log₂（3x+1）．
（1）求出使g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，求函數(shù)y=g（x）-f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)y=log₂x的單調(diào)性即可求得g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍；
（2）分析函數(shù)y=g（x）-f（x）的單調(diào)性，結(jié)合x∈[0，+∞）可得函數(shù)y=g（x）-f（x）的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=log₂（x+1），g（x）=log₂（3x+1），g（x）≥f（x），
∴3x+1≥x+1＞0，
∴x≥0．
即使g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍為[0，+∞）．
（2）∵y=g（x）-f（x）
=log₂（3x+1）-log₂（x+1）
=log₂$\frac{3x+1}{x+1}$（x≥0）．
令h（x）=$\frac{3x+1}{x+1}$=3-$\frac{2}{x+1}$，
則h（x）為[0，+∞）上的增函數(shù)，
∴1≤h（x）＜3，
故y=g（x）-f（x）∈[0，log₂3]，
即函數(shù)y=g（x）-f（x）的值域?yàn)閇0，log₂3]

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查解不等式組的能力，屬于中檔題．