Question

已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為

x=-1+ 2 2 t y= 2 2 t

（其中t為參數(shù)），曲線(xiàn)C₁：ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ-3=0，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同長(zhǎng)度單位．
（1）求直線(xiàn)l的普通方程及曲線(xiàn)C₁的直角坐標(biāo)方程；
（2）在曲線(xiàn)C₁上是否存在一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離最大？若存在，求出距離最大值及點(diǎn)P．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程,簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程

專(zhuān)題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）首先，將直線(xiàn)l中的參數(shù)，化為普通方程，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程C₁中消去ρ，θ，得到直角坐標(biāo)方程；
（2）首先，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，然后，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離建立等式確定P(

3

2

，-

1

2

)即可．

解答： 解：（1）直線(xiàn)l得：y=x+1，
由曲線(xiàn)C₁得：

x2

3

+y2=1…（5分）
（2）由題意可知C1：

x= 3 cosϕ y=sinϕ

（其中ϕ為參數(shù)），…（6分）
∴P到l得距離為d=

| 3 cosϕ-sinϕ+1|

2

=

|2sin(ϕ- π 3 )-1|

2

…（7分）
∴dmax=

3

2

=

3

2

2

，…（8分）
此時(shí)sin(ϕ-

π

3

)=-1，
即ϕ-

π

3

=2kπ-

π

2

，ϕ=2kπ-

π

6

…（9分），
∴xp=

3

cosϕ=

3

2

，yp=sinϕ=-

1

2

即P(

3

2

，-

1

2

)．…（10分）
故存在這樣的點(diǎn)，滿(mǎn)足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程和普通方程的互化等知識(shí)，