Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n=

an-1+2

，b_n=a_n-2，n=2，3，
（Ⅰ）求a₂，a₃，判斷數(shù)列{a_n}的單調(diào)性并證明；
（Ⅱ）求證：|a_n-2|＜

1

4

|a_n-1-2|（n=2，3，…）；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)M，對任意n≥2，有b₂b₃…b_n≤M？若存在，求出M的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由a₁=3，a_n=

an-1+2

，得a2=

5

，a3=

5 +2

，且可知a_n＞0．再由a_n=

an-1+2

，兩邊平方得an2=an-1+2，進(jìn)一步得到an+12=an+2，
兩式作差可得a_n+1-a_n與a_n-a_n-1同號．由a2-a1=

5

-3＜0易知，a_n-a_n-1＜0，即a_n＜a_n-1，可知數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減；
（Ⅱ）由an2=an-1+2，可得，an2-4=an-1-2，（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，進(jìn)一步得到|an-2|=

|an-1-2|

an+2

．由a_n-2與a_n-1-2同號，可得a_n-2＞0，即a_n＞2，可得

1

an+2

＜

1

4

，則|a_n-2|＜

1

4

|a_n-1-2|；
（Ⅲ）由（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，得an+2=

an-1-2

an-2

，即bn=

an-1-2

an-2

，累積后由|a_n-2|＜

1

4

|a_n-1-2|，可知|a_n-2|＜

1

4

|a_n-1-2|＜

1

42

|an-2-2|＜

1

43

|an-3-2|＜…＜

1

4n-1

|a1-2|=

1

4n-1

，得

1

|an-2|

＞4n-1，由a_n＞2，得

1

an-2

＞4n-1．結(jié)合當(dāng)n→∞時，4^n-1→∞，說明不存在常數(shù)M，對任意n≥2，有b₂b₃…b_n≤M成立．

解答： （Ⅰ）解：由a₁=3，a_n=

an-1+2

，得a2=

5

，a3=

5 +2

，且可知a_n＞0．
由a_n=

an-1+2

，得an2=an-1+2（1），
則有an+12=an+2（2），
由（2）-（1）得：an+12-an2=an-an-1，
（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=a_n-a_n-1，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n與a_n-a_n-1同號．由a2-a1=

5

-3＜0，
易知，a_n-a_n-1＜0，即a_n＜a_n-1，可知數(shù)列{a_n}單調(diào)遞減；

（Ⅱ）證明：由an2=an-1+2，可得，an2-4=an-1-2，（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，
∴|an-2|=

|an-1-2|

an+2

．
由（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，易知，a_n-2與a_n-1-2同號，
由于a₁-2=3-2＞0，可知，a_n-2＞0，即a_n＞2，
∴a_n+2＞4，∴

1

an+2

＜

1

4

，
∴|a_n-2|＜

1

4

|a_n-1-2|，得證；

（Ⅲ）解：∵（a_n-2）（a_n+2）=a_n-1-2，
∴an+2=

an-1-2

an-2

，即bn=

an-1-2

an-2

，
則b2b3…bn=

a1-2

a2-2

•

a2-2

a3-2

…

an-1-2

an-2

=

a1-2

an-2

=

1

an-2

．
由|a_n-2|＜

1

4

|a_n-1-2|，可知，
|a_n-2|＜

1

4

|a_n-1-2|＜

1

42

|an-2-2|＜

1

43

|an-3-2|＜…＜

1

4n-1

|a1-2|=

1

4n-1

，
∴

1

|an-2|

＞4n-1，
∵a_n＞2，
∴

1

an-2

＞4n-1．
當(dāng)n→∞時，4^n-1→∞，
故不存在常數(shù)M，對任意n≥2，有b₂b₃…b_n≤M成立．

點(diǎn)評：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了累積法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，屬難題．