【題目】平面圖形很多可以推廣到空間中去，例如正三角形可以推廣到正四面體，圓可以推廣到球，平行四邊形可以推廣到平行六面體，直角三角形也可以推廣到直角四面體，如果四面體中棱兩兩垂直，那么稱四面體為直角四面體. 請(qǐng)類比直角三角形中的性質(zhì)給出2個(gè)直角四面體中的性質(zhì)，并給出證明.（請(qǐng)?jiān)诮Y(jié)論中選擇1個(gè)，結(jié)論4，5中選擇1個(gè)，寫出它們?cè)谥苯撬拿骟w中的類似結(jié)論，并給出證明，多選不得分，其中表示斜邊上的高，分別表示內(nèi)切圓與外接圓的半徑）

直角三角形

直角四面體

條件

結(jié)論1

結(jié)論2

結(jié)論3

結(jié)論4

結(jié)論5

【答案】證明見解析

【解析】

結(jié)論1：分別表示，然后證明

結(jié)論2：在中利用等面積法，表示出高，然后分別表示，再證明

結(jié)論3：利用結(jié)論2中得到的的表達(dá)式，再表示出，再證明

結(jié)論4：內(nèi)切球的球心與四個(gè)頂點(diǎn)相連接，把三棱錐分成四個(gè)小的三棱錐，利用進(jìn)行證明

結(jié)論5：將直角四面體補(bǔ)形成為以為長、寬、高的長方體，再進(jìn)行證明.

記的面積依次為，

平面與所成角依次為，

點(diǎn)到平面的距離為分別表示內(nèi)切球與外接球的半徑，內(nèi)切球的球心為，

直角三角形

直角四面體

條件

結(jié)論1

結(jié)論2

結(jié)論3

結(jié)論4

結(jié)論5

證明：設(shè)，

過作，垂足為，聯(lián)結(jié)，過作，垂足為，

易證：，平面，則，

結(jié)論1：，

在中，，

s

；

結(jié)論2：，

∴。

同理，，

∴；

結(jié)論3：∵，∴，

又，

∴

結(jié)論4：，

∴.

從而，即；

結(jié)論5：將直角四面體補(bǔ)形成為以為長、寬、高的長方體，

則長方體的體對(duì)角線即為直角四面體ABCD的外接球的直徑，即.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知且成等比數(shù)列

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；

（3）設(shè)數(shù)列滿足求證：

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求直方圖中x的值；求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；

估計(jì)用電量落在中的概率是多少？

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【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)經(jīng)濟(jì)逐步被人們接受，網(wǎng)上購物的人群越來越多，網(wǎng)銀交易額也逐年增加，某地連續(xù)五年的網(wǎng)銀交易額統(tǒng)計(jì)表，如表所示：

年份

2012

2013

2014

2015

2016

網(wǎng)銀交易額（億元）

5

6

7

8

10

經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，年份與網(wǎng)銀交易額之間呈線性相關(guān)關(guān)系，為了計(jì)算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，，，得到如表：

時(shí)間代號(hào)

1

2

3

4

5

0

1

2

3

5

（1）求關(guān)于的線性回歸方程；

（2）通過（1）中的方程，求出關(guān)于的回歸方程；

（3）用所求回歸方程預(yù)測(cè)2020年該地網(wǎng)銀交易額.

（附：在線性回歸方程中，，）

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【題目】某同學(xué)解答一道解析幾何題：“已知直線l：與x軸的交點(diǎn)為A，圓O：經(jīng)過點(diǎn)A．

（Ⅰ）求r的值；

（Ⅱ）若點(diǎn)B為圓O上一點(diǎn)，且直線AB垂直于直線l，求．”

該同學(xué)解答過程如下：

解答：（Ⅰ）令，即，解得，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為．

因?yàn)閳AO：經(jīng)過點(diǎn)A，所以．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>．所以直線AB的斜率為．

所以直線AB的方程為，即．

代入消去y整理得，

解得，．當(dāng)時(shí)，．所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

所以．

指出上述解答過程中的錯(cuò)誤之處，并寫出正確的解答過程．

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【題目】某社會(huì)研究機(jī)構(gòu)，為了研究大學(xué)生的閱讀習(xí)慣，隨機(jī)調(diào)查某大學(xué)40名不同性別的大學(xué)生在購買食物時(shí)是否讀營養(yǎng)說明，其中男女各一半，男生中有表示會(huì)讀，女生中有表示不會(huì)讀.

（1）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，得到如下2╳2列聯(lián)表：

男

女

總計(jì)

讀營養(yǎng)說明

不讀營養(yǎng)說明

總計(jì)

（2）根據(jù)以上列聯(lián)表，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為性別與是否讀營養(yǎng)說明之間有關(guān)系？

P(K2≥k)

0.10

0.025

0.010

0.005

k

2.706

5.024

6.635

7.879

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【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，.

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（2）記，是否存在正整數(shù)，使得對(duì)一切，都有成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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