Question

1．已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*）是各項(xiàng)均為正數(shù)且公比不等于1的等比數(shù)列，對(duì)于函數(shù)y=f（x），若數(shù)列{lnf（a_n）}為等差數(shù)列，則稱函數(shù)f（x）為“保比差數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在（0，+∞）上的三個(gè)函數(shù)：①f（x）=$\frac{1}{x}$；②f（x）=e^x；③f（x）=$\sqrt{x}$；④f（x）=2x，則為“保比差數(shù)列函數(shù)”的是（　�。�

• A． ③④
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ①③

Answer 1

分析 設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠1），利用保比差數(shù)列函數(shù)的定義，驗(yàn)證數(shù)列{lnf（a_n）}為等差數(shù)列，即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q（q≠1）
①由題意，lnf（a_n）=ln$\frac{1}{{a}_{n}}$，∴l(xiāng)nf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-ln$\frac{1}{{a}_{n}}$=ln$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=-lnq是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（a_n）}為等差數(shù)列，滿足題意；
②由題意，lnf（a_n）=ln${e}^{{a}_{n}}$，∴l(xiāng)nf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln${e}^{{a}_{n+1}}$-ln${e}^{{a}_{n}}$=a_n+1-a_n不是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（a_n）}不為等差數(shù)列，不滿足題意；
③由題意，lnf（a_n）=ln$\sqrt{{a}_{n}}$，∴l(xiāng)nf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln$\sqrt{{a}_{n+1}}$-ln$\sqrt{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$lnq是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（a_n）}為等差數(shù)列，滿足題意；
④由題意，lnf（a_n）=ln（2a_n），∴l(xiāng)nf（a_n+1）-lnf（a_n）=ln（2a_n+1）-ln（2a_n）=lnq是常數(shù)，∴數(shù)列{lnf（a_n）}為等差數(shù)列，滿足題意；
綜上，為“保比差數(shù)列函數(shù)”的所有序號(hào)為①③④
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查等差數(shù)列的判定，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．