Question

9．已知二次函數(shù)f（x）=2x²-4（a-1）x-a²+2a+9，若在[-1，1]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得f（m）＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）的對稱軸分別表示出f（1），f（-1）和f（a-1），進(jìn)而根據(jù)在區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得f（m）＞0，推斷函數(shù)f（x）的最大值大于0，進(jìn)而根據(jù)a＜1時(shí)和a≥1時(shí)的函數(shù)的最大值，求得a的范圍；

解答 解：∵f（x）的對稱軸x₀=a-1，
而f（1）=-a²-2a+15，f（-1）=-a²+6a+7，f（a-1）=-3a²+6a+7；
若在[-1，1]上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得f（m）＞0，
則f（x）_max＞0，（x∈[-1，1]），

①當(dāng)x₀＜0，即a＜1時(shí)，[f（x）]_max=f（1）＞0⇒a²+2a-15＜0⇒-5＜a＜3，得-5＜a＜1；
②當(dāng)x₀≥0，即a≥1時(shí)，[f（x）]_max=f（-1）＞0⇒a²-6a-7＜0⇒-1＜a＜7，得1≤a＜7；
綜上，a的取值范圍是（-5，7）；

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)與方程得綜合運(yùn)用．考查了利用函數(shù)的單調(diào)性解決方程問題．